Обобщающие уроки – сказки по геометрии в 7 – 8 классах по темам: «Многоугольники», «Площади многоугольников»,  «Треугольники».

 Обобщающий   урок-сказка по геометрии по теме «Четырехугольники».

 Цель урока: систематизировать знания учащихся очетырехугольниках, их свойствах и признаках в занимательной, сказочной форме, развивать познавательный  интерес  учащихся к  геометрии.

Оборудование: вопросник  для взаимопроверки усвоения теоретического материала, задачи в рисунках для устной работы (выполнены на пленке для графопроектора),выставка ученических сказок по данной теме.

 План урока.

1. Сообщение темы и цели урока.

Ребята, сегодня на уроке мы обобщим знания по теме «Четырехугольники», проведя проверку усвоения теоретической части темы групповым методом, прослушав самые интересные и познавательные сказки, составленные учащимися Кушнир Д, Хурда А, Веревкиной. 2.Групповая работа.

Проверка теоретической подготовкиучащихся( учащиеся класса разделены на группы по 4 человека, в каждую группу входят учащиеся с разной  подготовкой, более подготовленные отвечают первыми консультанту группы, сдавшему зачет на предыдущих уроках, а затем и сами становятся консультантами.

Вопросник.

1. Определение многоугольника, его элементы.

2. Какой многоугольник называется выпуклым?

3. Формула суммы углов выпуклого п-угольника.

4. Сумма углов выпуклого четырехугольника.

5. Параллелограмм, его свойства и признаки.

6. Прямоугольник, его свойства и признак.

7. Ромб и его свойства.

8. Квадрат и его свойства.

9. Трапеция, виды трапеций, свойства равнобедренной трапеции.

(Консультанты прокомментировали оценки за знание теоретической части.)                                                                                       

3. Устное решение задач по готовым рисункам.

	а) Дано: ABCD - параллелограмм
	Доказать: ABCD - ромб.
	б) Дано: ABCD - ромб Найти: угол BAD
	в) Определить вид треугольника AOB

4)Повторение свойств и признаков четырехугольниковчерез сказки.

Чтение сказок(подготовительная работа по написанию сказки была проведена на предыдущих уроках, дома.

Учащимися дописаны сказки, учителем проверены и лучшие зачитываются на уроке.)

 Сказка «О полковнике-прямоугольнике», составитель Хурда Антон.

Жил- был в стране Геометрических фигур полковник- Прямоугольник. Он отличался прямотой своих взглядов и суждений. Круг часто упрекал его за это: нужно быть мягче, не стоит говорить правду там, где можно  промолчать. Треугольник острил по этому поводу: если он будет продолжать в том же духе, то вряд ли дослужится до генерала. Овал же молчал, он не любил суету и спешку, поэтому ему было трудно понять беспокойный характер Прямоугольника. Полковник - Прямоугольник ничего не отвечал своим друзьям. Его самого больше привлекали шумные сражения, чем спокойная и беспечная жизнь в стенах родного ему королевства. Однако все геометрические фигуры уважали своего командира, ведь у него в подчинении была целая армия четырехугольников из Ромбов, Квадратов, Трапеций. А ещё Прямоугольник состоял в самом близком родстве с параллелограммом. У полковника даже в паспорте было записано: Прямоугольник - это Параллелограмм, у которого все углы прямые. Даже враги, когда брали полковника в плен и узнавали то, что он родственник Параллелограмму, сразу отпускали его. Параллелограмм был важной фигурой в стране геометрических фигур, вхожим во дворец к самой королеве - Геометрии. Он часто рассказывал королеве о мужестве и храбрости своего  родственника - Прямоугольника. И вот однажды за очередную победу в жестоком сражении Геометрия решила наградить полковника  Прямоугольника золотой медалью высшей степени. По этому поводу во дворце было решено устроить грандиозное торжество, на которое были приглашены все жители страны геометрических фигур. Прямоугольник очень обрадовался этой новости. До торжества оставалось совсем немного времени, а ему предстояло ещё приобрести себе новый праздничный мундир. Ведь старый совсем потрепался в боях и сражениях, а местами можно было найти на нём следы от вражеских  пуль. Чтобы сшить новый мундир Прямоугольник пригласил лучших портных страны геометрических фигур: Линейку, Транспортир, Карандаш. Линейка сразу принялась измерять стороны Прямоугольника, у него оказались противоположные стороны равными. Транспортир измерил углы, они оказались все прямыми,  то есть по 90°. Осталось найти центр  Прямоугольника, место куда обычно крепится медаль. Портные задумались , как  найти центр Прямоугольника. Но тут выручил Карандаш. Он вспомнил, что есть правило, которое гласит: диагонали Прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Было решено нашить две атласные алые ленты по диагоналям. Место пересечения этих лент и есть центр, место для медали. Когда Прямоугольник появился на празднике, все заметили какой на нём красивый новый мундир. Королева под торжественную музыку оркестра прикрепила к мундиру Прямоугольника золотую медаль. Вокруг звучали фанфары, палили пушки, гремели фейерверки, все кричали - Ура!

Только Прямоугольник молчал, он был счастлив!

Сказка «О царе Треугольнике и царице Окружности». Составитель: Кушнир Дмитрий.

В некотором царстве, в некотором государстве Геометрии жили-были царь Треугольник с царицей Окружностью. И была у них дочка-красавица Трапеция: две стороны параллельны, а две  другие не параллельны, но равны. И было у неё звание - Равнобедренная  Трапеция. Когда дочка  выросла  решил царь выдать её замуж. Разослал гонцов во все концы королевства, велел всем женихам прибыть к стенам замка и участвовать в  словесном турнире. Кто победит, тот и станет женихом его прекрасной дочери. По традиции царь пообещал полцарства в придачу. В назначенный день собрались лучшие представители со всего королевства. Народу было видимо невидимо. Но только Параллелограмм, Прямоугольник, Ромб и Квадрат смогли пробиться в финальный тур поединка. И предстояло им явиться пред очи царя и восхвалять свои достоинства. Бросили жребий.Параллелограмму выпало первым держать испытание. «Я - четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны» - начал рассказывать о себе претендент на руку царевны. «Я обладаю прекрасными свойствами:

1. У меня противоположные стороны и углы равны.

2. Мои диагонали точкой пересечения делятся пополам.

3. Сумма моих углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Меня очень легко узнать: если Вы видите четырёхугольник, и у него две стороны равны и параллельны, то это Я; если  противоположные стороны попарно равны, то это тоже Я; если диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то это снова Я! Лучшего жениха Вам не сыскать!»

Царь поблагодарил претендента, а царевна даже не удостоилаего взглядом.

Следующим выступил Прямоугольник. Он был уверен, что царевна непременно выберет его, и даже не переживал за исход состязаний. «Я лучше параллелограмма. Мало того, что у меня противоположные стороны попарно параллельны, у меня ещё и все углы прямые. Мне присущи все свойства параллелограмма , но есть и ещё своё.У меня диагонали равны, что делает меня изящным, прямым и очень симпатичным. Я думаю, это сыграет решающую роль  в вашем выборе,  уважаемый  Царь!»

В это время Квадрат и Ромб стояли в стороне и загадочно улыбались, поглядывая на невесту. Ромбу не хватило выдержки, и он вмешался в разговор царя и Прямоугольника. «Не понимаю, о чём тут можно думать! Конечно же, выбрать нужно меня! Я параллелограмм, но более изящный, у меня все стороны равны. Я из семейства параллелограммов, поэтому все его свойства - это и мои свойства. Но меня выгодно отличает одна особенность:  мои диагонали взаимно перпендикулярны и делят мои углы пополам». Ромб замолчал, а царевна только метнула на него гневный взгляд.

Настала очередь Квадрата. Он скромно выступил вперед и начал:

«Я - простой Прямоугольник, у которого все стороны равны». Трапеция повернула голову в сторону говорящего и заинтересованно посмотрела на него. Её привлекла скромность жениха, его благородный вид, выдержка. «Прямоугольник является Параллелограммом, поэтому и я являюсь Параллелограммом,- продолжал между тем  Квадрат.

- У меня все стороны равны, значит Я - Ромб. Я обладаю всеми свойствами Прямоугольника и Ромба. О себе могу сказать только то, что:

• Все мои углы прямые;

• Мои диагонали равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят мои углы пополам».

Квадрат замолчал и скромно отступил в сторону. Он давно уже любил царевну Трапецию и втайне надеялся на взаимность. Царь поблагодарил всех участников состязания и попросил подождать его решения. Но решать было нечего, царевна с первого взгляда полюбила Квадрата и готова была идти с ним хоть на край света. Царю понравился другой жених, но он очень любил свою дочь и готов был всё сделать для её счастья. На том и решили. Через неделю всё королевство пело и плясало на весёлой свадьбе. Трапеция и Квадрат жили долго и счастливо в математическом царстве в любви и согласии.

Сказка «Путешествие Пети по стране Геометрии». Автор Верёвкина Алёна.

Жил-был мальчик Петя. Он учился в 8 классе и был очень ленивым, не любил делать уроки, а особенно геометрию, ну никак она у него не получалась. Эти свойства, признаки, чертежи, мучительные построения, не говоря уж о сложных, незапоминающихся теоремах и неподдающихся  доказательствах. Когда учительница вызывала его к доске, в голове у него ленивого всё перемешивалось, и он говорил что-то непонятное, в результате в дневнике красовалась очередная двойка. Короче говоря, не дружил он с геометрией, а она не ладила с ним.

И вот, однажды, в жаркий осенний сентябрьский день пригревало и так клонило в сон полуденное солнце, в очередной раз, сидя за уроками, в частности за геометрией, наш  ученик увлечённо следил за игрой соседнего пса, резвившегося с мячом. Ему самому бы хотелось выйти и присоединиться к нему, беззаботно отдавшись игре, но дома была мама, пришедшая на обед. И тут Пете показалось, что его кто-то зовёт, сначала он не понял, откуда доносился тоненький, еле слышимый голосок, но вдруг, посмотрев в тетрадь, увидел свой, недавно нарисованный  четырёхугольник, который был выпуклым, как сказано в условии задачи, и сумма углов его равна 360°.

Петя вскочил со стула, но, успокоившись, и, убедив себя, что здесь нет ничего страшного, вернулся к столу. Данный  четырёхугольник  являлся параллелограммом, так как его  противоположные стороны были попарно параллельны. Он что-то пытался сказать Пете, но слышен был только писк. Тогда Петя наклонил голову пониже и услышал: «Петя, королева Геометрия попросила меня  совершить с тобой экскурсию по республике Четырёхугольников и рассказать тебе об её подданных, т.к. они устали от того,что ты постоянно искажаешь их, и они не могут спокойно работать. Для того чтобы попасть сюда, ты должен произнести первый признак параллелограмма - если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник параллелограмм. Произнеся это, наш герой оказался рядом с параллелограммом, и они пошли вперёд. Пришли они к огромным воротам, для того, чтобы те открылись, нужно было вспомнить второй признак  параллелограмма, но, конечно, наш лентяй его не знал, но ему очень хотелось попасть в край четырёхугольников, и он попросил параллелограмма ему помочь, сказать начало признака, а  конец Петя бы закончил. И вот параллелограмм начал: «если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник…» «Параллелограмм!»- воскликнул Петя.

Тут одна из трапеций (их было две), у которой боковые стороны были равны, и она была равнобедренной, достала ключ, а другая прямоугольная, т.к. один из её углов был прямой, повернула ключ в замочной скважине, и ворота отворились. Петя и параллелограмм вошли в Город прямоугольников, он назывался так, потому что у каждого живущего здесь параллелограмма все углы были прямые. Вдруг Пете сильно захотелось пить, и он пошёл в магазин, но там всё продавалось не за деньги, а за правильные ответы. Продавец попросил Петю рассказать особое свойство прямоугольника. А так как ему очень хотелось пить, то он изо всех сил старался вспомнить его. И вспомнил, гордо произнеся: «Диагонали  прямоугольника равны». Дальше параллелограмм повёл Петю в квартал Ромбов-параллелограммов, у которых все стороны равны. Там жила бабушка параллелограмма, она угостила их вкусным чаем с печеньем и рассказала особое свойство ромба - диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Поблагодарив бабушку, друзья направились в музей квадратов. При входе в здание Петя прочитал на табличке: «Квадратом называют прямоугольник, у которого все стороны равны».  Петя с удовольствием разглядывал картинки с изображением Квадратов, а в конце музеевед пояснил посетителям основные свойства квадрата:

1. Все углы квадрата поистине прямые.

2. Диагонали  квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения  делятся пополам и делят углы пополам.

Прогулка Пете очень понравилась, ему не хотелось уходить,  но дома его ждала мама, он попрощался с параллелограммом и…проснулся.

5.Подведение итога урока. Выставление оценок.

Ребята, прослушав сказки. Вы ещё раз повторили определения,  свойства , признаки четырёхугольников. А теперь ответьте мне на вопросы:

1. Определите вид четырёхугольника АВСD, если АС и ВD – диаметры одной окружности.

2. Верно ли, что четырёхугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является  ромбом (нет).

3. Всякий ли четырёхугольник, у которого есть две параллельные стороны, является трапецией (нет).

 Оценки выставляются за ответы на вопросы в группах, устное решение задач, написание сказки (не только прочитанных, а всех,

сданных учителю на проверку и отобранных на выставку).

Обобщающий  урок – сказка по геометрии по теме: «Площади».

Цель урока: обобщить знания учащихся о свойствах площадей, о правилах вычисления площадей многоугольников в занимательной, сказочной форме, вызывая этим интерес к предмету геометрии.

Оборудование: конверт с набором многоугольников, таблицы площадей многоугольников, сказки, сообщения о Пифагоре, решение  задачи №1 на плёнке для проверки через графопроектор.

 План урока.

1. Устная работа.

а) Ответы на вопросы к главе VI учебника.

Доказательство теорем выборочно,  используя  таблицы из серии «Площади многоугольников».

б) Устно по готовым рисункам ( проектируются рисунки на доску через графопроектор) решить задачи: 

а)		б)		в)
	Найдите площадь треугольника АВС.		Найдите площадь параллелограмма  АВСD.		Найдите площадь ромба АВСD, если  МК=16, NP=12.

2. Практическая работа.

Каждый ученик получает заранее заготовленный конверт с многоугольниками (параллелограмм, ромб, трапеция, прямоугольник, квадрат, треугольник, прямоугольный треугольник), выполняет необходимые измерения, записывает формулу площади взятого многоугольника и вычисляет её.

3. Чтение сказок (работа по написанию сказки начата на предыдущих уроках, закончена дома, проверена учителем и лучшие сказки зачитываются на уроке, а из других сказок оформляется выставка ).

Сказка «Спортивные состязания»,составил Дрига А.

Жили – были в стране Геометрия фигуры. Они были разные: многоугольники, прямоугольники, квадраты, параллелограммы, трапеции, треугольники. Конечно, все многоугольники обладали одинаковыми свойствами площадей, например, равные многоугольники в этой стране имели равные площади. А если многоугольник был составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равнялась сумме площадей этих многоугольников.

      Через месяц предстоял чемпионат мира по футболу. Нужно собирать команду. Спортивный комитет Геометрии призвал в команду по два представителя от каждого вида фигур. Конечно, команда не бывает без капитана. А кто же им станет? Капитан футбольной команды должен быть самым умным, опытным, ответственным, всесторонне развитым, обладать теми качествами, которых нет ни у кого. Тренер команды – Круг, попросил игроков рассказать о себе. Первым начали прямоугольники. Они рассказали и даже доказали, что их  площадь равна  произведению двух смежных сторон. Затем вышли параллелограммы. Они рассказали, что их площади равны произведению основания на высоту. В разговор вступили трапеции. Они доказали, что их площадь равна произведению полусуммы оснований на высоту. Треугольники терпеливо выслушали  всех фигуры и скромно  начали рассказывать о себе. Они доказали, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. Еще треугольники рассказали о том, что если высоты двух треугольников равна, то их площади относятся как основания. Также все узнали, что  если угол одного треугольника равен углу другого треугольника,  то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы. Без сомнения, капитаном должен стать кто-то из треугольников. Но кто? Тут прямоугольный треугольник добавил, что его площадь можно найти и другим способом : его площадь равна половине произведения катетов. Прямоугольный треугольник оповестил всех о том, что он обладает замечательным соотношением между гипотенузой и катетами, которое называется теоремой Пифагора : в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Также среди всех треугольников его очень легко узнать. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, то это он – прямоугольный треугольник. Катеты этого треугольника равны 3см и 4см, а гипотенуза 5см. Отсюда и его имя –Пифагор, а фамилия Египетский.  Безоговорочно, имея столько достоинств перед другими фигурами, капитаном футбольной команды стал прямоугольный треугольник.

На чемпионате мира по футболу команда страны Геометрии заняла второе место, проиграв соседней стране – Алгебре.

 Сказка «Выборы телохранителей Королевы Геометрии», автор Хурда Антон.

     Жили – были в стране геометрических фигур два лучших друга – квадрат и прямоугольник. У приятелей было много общего. У каждого из них было по четыре прямых угла, диагонали были равными и точкой пересечения делились пополам. Иногда даже квадрат  называли прямоугольником, у которого все стороны равны, но он на это совсем не обижался, наоборот, ему даже было приятно осознавать ,что у него с другом так много общего. Никто никогда не видел их грустными или недовольными, они всегда были вместе, веселы и радостны.

    Но однажды случилось нечто, что перевернуло всю их налаженную жизнь. По стране прошёл слух, что будут отбираться геометрические фигуры в отряд телохранителей королевы Геометрии. Все тут же стали обсуждать эту новость, каждому хотелось послужить королеве, ведь все жители её очень любили. Вскоре на площади были собраны все геометрические фигуры. Наши квадрат и прямоугольник тоже поспешили на место сбора. Придворная дама Теорема им объявила, что в отряд личной охраны королевы требуются храбрые геометрические фигуры, но это обязательно должны быть четырёхугольники площадью 36см².

    Все желающие поступить на службу к королеве выстроились в очередь на приём к Теореме. Именно она должна была решить, кто станет счастливчиком! Тут вперёд протиснулся молодой, худенький треугольник. «Пожалуйста, скажите, как определить мою площадь»-попросил он Теорему. «Зачем это Вам»- ответила придворная дама. «Посмотрите, Вы совсем юный и у Вас всего три угла». Но так как треугольник долго умолял её, она ответила : «Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Но Вам не стоит беспокоиться, возвращайтесь домой, Вы только задерживаете очередь». Расстроенный треугольник ушёл.

Геометрические фигуры толкались в очереди. Они шумели и галдели. Тогда Теорема объявила: 36см² равна площадь каждого квадрата со стороной 6см, так как площадь квадрата равна квадрату его стороны. «Это я», - радостно закричал наш квадрат,- «Это у меня все стороны по 6см. Как я счастлив, что буду служить самой королеве».

Вместе с нашим квадратом вперёд вышли ещё несколько таких как он квадратов. Они стали поздравлять и обнимать друг друга. «Вы равные многоугольники, а как известно, все равные многоугольники имеют равные площади, площадь каждого из вас 36см². Поздравляю Вас, вы приняты в телохранители самой королевы», - произнесла Теорема.

Всё это время, пока квадрат радовался своему успеху, его друг прямоугольник  стоял в стороне и с завистью смотрел на товарища. Он знал, что у него много общего с квадратом, но они далеко не равные многоугольники. Ему было грустно оттого, что в первый раз в жизни он испытывал зависть к другу, и это чувство было ему неприятно. Ещё он печалился от предстоящей разлуки с другом.      

     С такими мыслями  прямоугольник отошел в сторону, чтобы не мешать своим видом радоваться квадрату. И вдруг он услышал как будто кто – то плачет. Прямоугольник осмотрелся по сторонам и заметил рядом на скамейке плачущую трапецию.

    - Что с вами случилось? Вас кто-то обидел? – спросил ее прямоугольник.

    - Я плачу, потому что, только что узнала, что меня не возьмут служить во дворец к королеве.

    - Почему? – удивился прямоугольник.

    - Сначала долго измеряли мою площадь, искали основания, делили меня диагональю на два треугольника, проводили какие-то отрезки. Могу сказать, что это была для меня не очень приятная процедура. Но я все терпела, ведь площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту. А когда я спросила у Теоремы нельзя ли аккуратней со мной обращаться, ведь я такая нежная. Она мне ответила:

- Милая, для того чтобы узнать вашу площадь нам просто необходимо измерить ваши основания. Но мне, кажется, нам не стоит продолжать высчитывать вашу площадь, так как я заметила, что вы не отличаетесь, ни смелостью, ни храбростью и таким нежным созданиям не место среди телохранителей королевы, пожалуй, вас саму еще придется охранять.

      Трапеция снова заплакала, и прямоугольник старался утешить ее. Вскоре к трапеции и прямоугольнику подошел расстроенный параллелограмм. Это был старый знакомый трапеции.      

     - Что тоже не взяли? – спросила трапеция у него.

     - Сказали, площадь на много больше, целых  54см².

     - Бедняжка, я видела, как тебя тоже мучили.

     - Да, мне измерили основания, проводили перпендикуляр к прямой, содержащей основания.

     - О, это было ужасно, - заметила трапеция.

     - Вовсе нет, я слышала, как Теорема говорила, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

    - Я не пойму, почему меня не взяли, ведь если у меня такая большая площадь, значит, я сильнее и смогу защитить королеву лучше любого квадрата.

    - Я где-то слышал, - заметил прямоугольник, что казармы во дворце, где живут телохранители, рассчитаны на фигуры определённой площади.

Прямоугольник был рад, что у него появились новые друзья, и тут он увидел бегущего к нему друга – квадрата.

  - Наконец-то я тебя нашёл, - обрадовано сказал он, сначала меня выбрали в телохранители, потом записали все мои данные, а когда всё закончилось, я стал тебя искать, но тебя нигде не было. Я видел, как один прямоугольник, равный тебе, у него тоже стороны 9см и 4см, был зачислен на службу к королеве. Я очень рад, что мы вместе будем служить.

Прямоугольник стоял молча, он не мог поверить в то, что тоже может оказаться среди счастливчиков. Только ему нужно было торопиться, так как на площади уже почти никого не осталось. Теорема собиралась вернуться во дворец вместе  с фигурами, выбранными ею.

Прямоугольник побежал изо всех сил и оказался последним из кандидатов.

   - Ваше имя? – услышал он.

   - Прямоугольник, - ответил  прямоугольник.

   - Размеры Ваших сторон?

   - 4см и 9см,- сказал прямоугольник.

  - Так, - Теорема задумалась, - площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон. Значит, Ваша площадь равна 36см². Я вас поздравляю, Вы нам подходите.

Квадрат и прямоугольник были рады, что им не придётся расставаться. И счастливые друзья побежали собирать вещи.

4. Сообщение о Пифагоре Самосском.

Пифагор родился около 570 г. до н. э. на ионийском острове Самос, расположенном у берегов Малой Азии. Он был сыном состоятельного гражданина Миесара. Юный Пифагор мечтал о путешествиях в дальние страны, завороженный, он слушал рассказы капитанов кораблей и путешественников, которые останавливались на острове Самос, о дальних морях и странах. Юный Пифагор покидает родину, и начинаются его путешествия.

Его путь лежит в Египет, который он исколесил вдоль и поперек. Говорят, что Пифагор прожил в Египте 22 года. Затем он попадает в плен к персидскому завоевателю Камбизу, и тот увозит его в Вавилон. Именно в Вавилоне с его великой культурой Пифагор состоялся как мыслитель и философ. Город поразил его своим величием. Высокие оборонительные стены возвышались по обеим сторонам Евфрата, поражали храмы и грандиозные здания, геометрически правильные улицы, широкие и прямые.

Пифагора интересуют вавилонские традиции и обычаи, он изучает язык халдейских мудрецов. Халдейские математики знакомят его с теорией чисел, он изучает математические закономерности расположения светил.

Пифагору 40 лет, и он возвращается на родину, на остров Самос, где правит жестокий тиран Поликрат. Но философ не хочет жить при тирании и поселяется на юге Италии, в греческой колонии Кротоне, окруженный поклонниками и почитателями. Пифагор выступает в роли учителя, в роли проповедника и пророка, высшего существа. Здесь, в Кротоне, в 530 г. до н.э. создается пифагорейский союз, школа Пифагора. Это школа для избранных, для аристократов, с суровой дисциплиной, своего рода философское, политическое и религиозное братство. О своем учителе пифагорейцы говорят только в превосходной степени, именно тогда о нем возникают многочисленные легенды, представления о нем как о полубоге: дескать, у Пифагора золотое бедро, он может быть одновременно в разных местах, у него нет проблем с исцелением больных, дикие звери подчиняются ему, они разрешают Пифагору гладить их.

Краеугольным камнем философии пифагорейцев было мистическое учение о числе: числа руководят миром, числа лежат в основе вещей, числа — основа мира. У пифагорейцев появились экзотические числа: квадратные и треугольные, дружественные и совершенные, четно-четные, нечетно-нечетные, пятиугольные, кубические, пирамидальные. Числам поклонялись, т.к. они служили гармонии, которую превыше всего ценили пифагорейцы. Именно с помощью чисел можно было перекинуть мостик между различными областями человеческих знаний, между геометрией, теорией чисел и астрономией, между геометрией и арифметикой. Без чисел этой гармонии не было бы. Символом пифагорейской школы была пятиконечная звезда, пентаграмма. Пифагорейцы умели строить пятиугольник с помощью циркуля и линейки.

«Всё есть число», — говорили они, и в геометрии при изучении свойств фигур их особенно интересовали числовые соотношения. Они почитали прямоугольный треугольник и соотношение «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» называли теоремой Пифагора. Рассказывают, что Пифагор отблагодарил  богов за доказательство этой знаменитой теоремы и принес в жертву 100 быков.

Ему приписывается систематическое введение доказательств в геометрию, построение планиметрии прямолинейных фигур, создание учения о подобии. С его именем также связывают разработку учения о четных и нечетных числах, об арифметических и геометрических пропорциях.

Пифагорейский союз состоял из элиты, из представителей аристократии, в чьих руках было управление городом Кротон. Это никак не соответствовало демократическим устремлениям большинства греческих колоний. Так возникала демократическая оппозиция в городе. Это был гнев народа. Началась междоусобица, Пифагор бежит из Кротона вместе с учениками сначала в Тарент, а затем в Метапонт. Они прибывают в Метапонт, а там начинается народный бунт. Ночью, в одном из уличных столкновений престарелый Пифагор трагически погибает, ему было за 80. Не спасло его знание приемов кулачного боя и то, что в молодости он был первым олимпийским чемпионом по кулачному бою.

Его школа, пифагорейский союз, распадается, уходят в историю нравы, запреты, самоограничения его учеников.

Геродот называл Пифагора «выдающимся софистом» т.е. великим мудрецом!

Для своих современников Пифагор был божественным пророком, воплотившим высшую мудрость.

Для нас он - великий математик.

ИСПЫТАНИЕ

Белое жилище посвященных возвышалось на холме среди кипарисов и олив. Снизу, идя по берегу моря, можно было видеть его портики, его сады, его гимназиум. Храм Муз возвышался своими полукруглыми колоннами, воздушными и изящными, над обоими крыльями главного здания. С террасы наружных садов открывался вид на город, на его гавань и на место общественных собраний. Вдали расстилался залив среди острых прибрежных скал, словно в чаше из агата, а на горизонте сверкало ионическое море, замыкая его своей лазурной линией. От времени до времени из левого крыла здания выходили женщины в разноцветных одеждах и, следуя одна за другой по кипарисовой аллее, спускались к морю. Они направлялись к храму Цереры. Из правого крыла выходили мужчины в белых одеждах, направляясь вверх к храму Аполлона. И в этом крылось большое очарование для молодого воображения искателей истины, что школа посвященных находилась под покровительством двух божеств, из которых одна, великая Богиня, обладала глубокими тайнами Женщины и Земли, а другой, солнечный Бог, раскрывал тайны Мужественности и Неба.

Эта маленькая община избранных как бы освещала собой раскинувшийся внизу многолюдный город. Её светлая ясность привлекала благородные инстинкты юности, но не легко было проникнуть в её внутреннюю жизнь, и все знали, как труден доступ в среду немногочисленных избранных. Простая живая изгородь служила защитой для садов, прилегавших к пифагорейским зданиям, и входная дверь оставалась весь день открытой. Но у двери возвышалась статуя Гермеса, и на цоколе её виднелась надпись: Eskato Bebelo'i, прочь непосвященные! Все подчинялись этому приказанию.

Пифагор с большим трудом допускал новичков, говоря "что не из каждого дерева можно вырезать Меркурия". Молодые люди, желавшие вступить в общину, должны были пройти через период испытания. Рекомендованные или родителями, или одним из учителей, они получали вначале доступ лишь в пифагорейский гимнастический зал, где новички упражнялись в различных играх.

С первого же взгляда молодой человек замечал, что этот зал совсем не походил на такое же гимнастическое учреждение в городе: ни громких криков, ни буйных проявлений, никакого признака бахвальства или тщеславного выставления своей силы, своих мускулов атлета; здесь царствовали вежливость, изящные манеры и взаимное доброжелательство среди молодых людей, которые или прогуливались парами под сенью портиков, или предавались играм на арене. С ласковой простотой приглашали они новичка принять участие в их беседах, никогда не позволяя себе любопытных взглядов или насмешливой улыбки.

На арене упражнялись в бегах и в метании дротиков. Там же происходили воинственные упражнения в виде дорических танцев, но Пифагор строго запрещал в своей школе единоборство, говоря, что рядом с развитием ловкости это вводит в гимнастические упражнения элемент гордости и озлобления; что люди, стремящиеся к осуществлению истинной дружбы, не должны позволять себе сваливать друг друга с ног и кататься по песку подобно диким зверям; что истинный герой должен биться с мужеством, но без ярости, и что озлобленный человек предоставляет все преимущества над собой своему противнику.

Новичок узнавал эти правила из уст юношей пифагорейцев, которые спешили сообщить ему эти крупицы усвоенной мудрости. Одновременно с этим, они приглашали его свободно высказаться и не стесняясь оспаривать их мнения. Поощренный их предупредительностью, новичок не замедливал раскрыть свою истинную природу. В восторге, что его так любезно слушают, он начинал разглагольствовать.

В это время начальники зорко наблюдали за ним, не останавливая его никаким замечанием. Неожиданно появлялся и сам Пифагор, чтобы незаметным образом следить за его жестами и словами. Он придавал особенное значение смеху и походке молодых людей. Смех, говорил он, самое несомненное указание на характер человека и никакое притворство не может украсить смех злого. Он был такой глубокий знаток человеческой наружности, что умел читать по ней до глубины души.

Благодаря подобным наблюдениям, учитель составлял точное представление о своих будущих учениках. Через несколько месяцев приходила очередь решающим испытаниям. Испытания эти были взяты из египетского посвящения, но смягчены и применены к натуре Греков, впечатлительность которых не вынесла бы смертельных ужасов Мемфисских и Фивийских склепов.

Стремящегося к посвящению заставляли провести ночь в пещере, находившейся в окрестностях города, в которой, по слухам, появлялись чудовища и привидения. Не имевших силы выдержать зловещие впечатления одиночества и ночного мрака, отказывавшихся войти или обращавшихся в бегство, признавали слишком слабыми для посвящения и их отправляли назад.

Нравственное испытание носило более серьезный характер. Внезапно, без всяких предупреждений, ученика заключали в келью, печальную и обнаженную. Ему давали доску и короткий приказ: найти внутренний смысл одного из пифагорейских символов, например: "что означает треугольник, вписанный в круг"? или: "почему додекаэдр, заключенный в сферу, является основной цифрой вселенной?"

Он проводил 12 часов в пустой келье наедине с своей задачей, имея лишь кружку воды и кусок хлеба вместо обычной пищи. Затем его вводили в залу собраний, где все ученики были в сборе. Они должны были беспощадно поднимать на смех испытуемого, который, голодный и в дурном настроении, появлялся перед ними подобно осужденному.

"Вот", кричали они, "явился новый философ! Какой у него вдохновенный вид! Он сейчас поведает нам о своих открытиях! Не скрывай же от нас свои мысли! Еще немного - и ты станешь великим мудрецом!" В это время учитель наблюдал за всеми проявлениями молодого человека с глубоким вниманием. Удрученный постом и одиночеством, раздраженный сарказмами, униженный своим бессилием разгадать непонятную задачу, он должен был сделать огромное усилие, чтобы овладеть собою. Некоторые плакали слезами ярости; другие отвечали грубыми словами, третьи бросали доску вне себя от гнева, осыпая бранью и школу, и учителя, и его учеников.

После этого появлялся Пифагор и спокойно заявлял, что юноша, выдержавший так плохо испытание в самообладании, не мог оставаться в школе, о которой он такого нелестного мнения. Изгнанный уходил пристыженный и иногда делался опасным врагом для ордена, как тот знаменитый Килон, который позднее вызвал мятеж против Пифагорейцев и привел их к роковой катастрофе.

Те же юноши, которые выдерживали нападение с твердостью, которые на дерзкие вызовы отвечали разумно и с присутствием духа, заявляя, что они готовы сто раз подвергнуться испытаниям, если это даст им хотя бы малую частицу мудрости, - такие юноши торжественно объявлялись вступившими в школу и принимали полные энтузиазма поздравления от остальных сотоварищей.

5. Задача.

В параллелограмме стороны равны 12см и 16см, угол  между высотами, проведёнными из вершины тупого угла, равен 30°. Найти площадь параллелограмма. (Ученики работают в тетрадях: выполняют рисунок, продумывают решение, обсуждается решение , затем показывается заранее заготовленное учителем решение задачи через графопроектор).

6. Подведение итога урока.

Ребята, вам понравились прочитанные сказки? А чем они хороши? (Прослушав сказки, мы ещё раз повторили свойства площадей, правила вычисления площадей многоугольников).

Оценки выставляются за сказки, устное  решение задач, практическую работу, которую проверили четыре подготовленных ученика во время прочтения сказок.

7. Домашнее задание:

домашняя контрольная работа (разноуровневая) из сборника А.П. Ершова «Самостоятельные и контрольные работы», стр. 116-117,

к.р. №2 «Площади. Теорема Пифагора».

Обобщающий  урок – сказка по геометрии по теме «Треугольники»

Цель урока: обобщить знания учащихся  о треугольниках, в занимательной, сказочной форме закрепить свойства равнобедренного треугольника, признаки равенства треугольников.

Оборудование: выставка сказок, рисунки к устным задачам, выполненные на плёнке для графопроектора, вопросник для проверки усвоения теоретической части темы.

План урока.

1. Повторение теоретической части темы через чтение сказок, над составлением которых работали на предыдущем уроке, а закончили работу дома.

Сказка «Выборы президента», составитель Стрелков Владимир.

Прошло четыре года и в стране Геометрии пришло время выбирать нового президента. От партии треугольников подали заявку 4 кандидата: Равнобедренный треугольник (модельер-дизайнер), Равносторонний треугольник (актёр театра и кино), Прямоугольный треугольник (инженер-строитель), Тупоугольный треугольник (бизнесмен).

Избирательная комиссия выдвинула к кандидатам такие требования: в каждом из кандидатов медианы должны пересекаться в одной точке, биссектрисы, а также высоты или их продолжения также должны пересекаться в одной точке. Рассмотрев поданные заявки кандидатов, избирательная комиссия пришла к выводу, что все, выше перечисленные претенденты, обладают необходимыми  качествами и разрешила им начать агитационную компанию.

Равнобедренный треугольник напечатал плакаты со своим изображением, а также  написал, что кроме тех свойств, обязательных для каждого кандидата, у него ещё:

1. Две стороны равны.

2. Углы при основании равны.

3. Биссектриса, проведённая к основанию, является и медианой и высотой.

Равносторонний треугольник выступил по телевидению и сделал  передачу по радио, где рассказал, что помимо тех свойств, необходимых каждому кандидату, у него есть свои преимущества:

1. Все стороны равны.

2. Все углы равны.

3. Биссектриса, проведённая из любой вершины, является и медианой и высотой.

Прямоугольный треугольник (фигура по натуре жёсткая и прямая) решил, что самая лучшая агитация – это прямое общение с избирателями. Он организовал встречи на предприятиях, в ЖЭКах, в общественных  организациях и даже на улице. В его предвыборной речи всегда звучало : он  единственный треугольник, в котором есть прямой  угол, кроме этого две его высоты лежат на сторонах.

Четвёртый кандидат – тупоугольный треугольник, бизнесмен по натуре, знал, что нужно избирателям. Он организовал митинг, пригласил артистов: очаровательную певицу Окружность, писателя-сатирика Прямоугольника. Народного артиста  Квадрата и артиста-пародиста Острого угла и бесплатно всех собравшихся угощал пирожными и мороженым. В своей предвыборной речи он был краток. «Я», – сказал кандидат,– «единственный треугольник, который имеет самый большой угол и,  кроме того, высоты мои пересекаются вне меня, а всё остальное – вы и так знаете».

Четвёртый кандидат своей изобретательностью поразил всех присутствующих и поэтому избиратели в день выборов отдали за него 63% голосов, что было вполне достаточно для победы.

Сказка « Сон  Васи», автор Штанько Александра.

Как-то раз  Вася попал в город Теорем. Он всё внимательно осмотрел и увидел двух треугольников. Подошёл к ним и говорит : «Я могу пройти в город Теорем?». «Да, ты можешь войти в наш город, но сначала расскажи нам первое свойство равнобедренного треугольника». Вася подумал и сказал: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны». «Верно, молодец», - сказали два треугольника и пропустили Васю. Когда  Вася вошёл в город, он увидел треугольные дома, окна. Почти всё было треугольное. Мальчик загляделся и толкнул треугольник, он извинился, но треугольник сказал, что простит его, если тот расскажет ему второе свойство равнобедренного треугольника. Вася быстро протараторил:  «В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является и медианой и высотой», побежал дальше и увидел своё любимое лакомство – мороженое.

Мороженое тоже продавал треугольник и Вася тихо спросил: « Сколько стоит мороженое?» «Всего лишь признак равнобедренного треугольника». Вася, недолго думая, ответил: «Если в треугольнике  два угла равны, то этот треугольник равнобедренный». Только он  сформулировал признак и хотел взять своё мороженое, как услышал голос мамы: «Вася, вставай, а то в школу опоздаешь.»

Вася быстро встал, умылся, сделал зарядку, позавтракал и с хорошим настроением побежал в школу, так как он уже всё знал о равнобедренном треугольнике.

Сказка о треугольнике. Автор Хурда Антон.

Жили-были на белом свете король Циркуль и королева Линейка. У них было большое королевство, в котором подданными были точки и отрезки. Однажды подданные отправили делегацию к королю с королевой с просьбой разрешить им провести бал. Циркуль и Линейка дали свое разрешение, но поставили одно условие: точки могут танцевать только с точками, а отрезки - с отрезками. При этом отрезки не имеют права пересекаться друг с другом в точках, не являющихся концами этих отрезков. "А в конце бала, - сказал король, - я сделаю вам сюрприз". И начался бал. Точки, взявшись за руки, водили хороводы вокруг какой-то одной, которую они назвали центром. А отрезки, соединившись концами, образовывали самые разные фигуры. Всем было хорошо и весело, а король с королевой, сидя на  своих тронах, все время хитро поглядывали на веселящихся подданных. И вдруг... Король встал и хлопнул в ладоши. Все застыли.     

И тогда королева сказала: "Вот так, как вы теперь стоите, вы и будете жить всегда. Королевским Указом я запрещаю вам расцепляться. Таким образом, в нашем Королевстве появятся новые подданные:  окружности, многоугольники и т.д."

И началась в том королевстве совсем другая жизнь. Но вдруг треугольники обнаружили, что в отличие от всех остальных фигур, составленных из отрезков, они не могут менять своей формы. У всех многоугольников, кроме них, была хоть какая-то подвижность, то есть, не меняя своей длины, любой отрезок, не расцепляясь с соседом, мог сделать шаг в сторону, а в многоугольнике менялись от этого только величины углов, но четырехугольник все равно оставался четырехугольником, пятиугольник - пятиугольником и т.д. А вот отрезки, из которых состояли треугольники, никуда двинуться не могли. Поняли треугольники, что это нечестно и пошли к королю жаловаться, но и король не имел права отменить свой указ и разрешить треугольникам разъединиться. Тогда он им сказал: "Я дам вам то, чего нет ни у одной другой фигуры! У вас будут собственные биссектрисы!" Треугольники обиделись: "У каждого угла есть своя биссектриса. Да и в каждом многоугольнике можно провести столько биссектрис, сколько у него углов". Но король возразил треугольникам, объяснив им, что биссектриса угла - это луч, а биссектрисы треугольников, то есть биссектрисы их углов, будут отрезками, ибо их будут ограничивать противолежащие этим углам стороны.

Но треугольникам этого было мало, да и в самом деле, разве нельзя провести биссектрису угла четырехугольника и ограничить ее противоположной углу стороной?
Тогда королева вдруг говорит: "Есть у меня для вас подарок". Подозвала она к себе один из треугольников (а надо сказать, что была она одета не в нарядное платье с сантиметровой шкалой, а в простое однотонное одеяние), кликнула пажа-карандаша и с помощью мужа разделила одну из  сторон треугольника пополам и... соединила середину стороны с противоположной вершиной треугольника! "Этот отрезок, - сказала Линейка, - будет называться медианой. А она может быть только у треугольника!" Треугольники ужасно обрадовались, а потом решили, что уж если, имея определенные стороны и углы, они не могут никак изменяться, то надо использовать это для своей выгоды. Сидели они, думали, гадали и придумали. Сначала они долго смотрели друг на друга и увидели, что если две стороны одного треугольника    соответственно    равны    двум    сторонам    другого треугольника, а углы, заключенные между ними, равны, то у этих  треугольников будут равны не только третьи стороны, но и два остальных угла! То есть такие треугольники будут равны. Потом они увидели, что то же самое будет, если сторона и два прилежащих к  ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника. А, в конце концов, они разглядели и то, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то и такие треугольники тоже будут равны! Пошли с этим открытием треугольники опять к королю с королевой, чтобы сообщить им о том, что они обнаружили. И издали тогда король с королевой указ о том, что все эти утверждения отныне будут называться "Признаками равенства треугольников." А уж этого-то точно ни у каких других фигур нет и никогда не было. На этом треугольники и успокоились. Теперь в королевстве Циркуля и Линейки опять все спокойно.

Сказка «Треугольник по имени АВС». Автор Дрига Артём.

Жил был треугольник. Он был из семейства равнобедренных. Его звали ABC, треугольник думал, что он один такой, ходил по улицам и хвастался:

– –  Только у меня есть три вершины, три стороны, три угла, сумма длин моих сторон называется периметром треугольника. У меня есть две равные стороны и основание.

Гулял как-то раз ABC по городу и увидел какую-то геометрическую фигуру. Решил подойти, познакомиться с этой фигурой. Когда ABC подошёл поближе, то он понял, что это тоже треугольник.

–  Привет,–  сказал ABC.

– Привет,–  тихо ответил другой треугольник.

– Меня зовут ABC. А тебя как? – спросил ABC.

– А меня DMN,–  ответил другой треугольник.

– А из какого ты семейства?–  снова спросил ABC.

– Я из семейства равносторонних, мы живём в городе геометрии, на улице треугольников,– ответил DMN.

– Ах, вот почему мы не похожи! У тебя же все стороны одинаковые, а у меня только две равных стороны,–  подумал про себя ABC.

– Поедем ко мне в гости!–  предложил DMN.

– Ну, поехали,–  согласился ABC.

Пока они ехали DMN рассказал про свою большую семью, в которой есть и равносторонние, и равнобедренные, и разносторонние треугольники. ABC обрадовался тому, что у него есть братья, равнобедренные треугольники, и попросил DMN познакомить его с ними.

– Вот мы и приехали,–  сказал DMN.

Они зашли в дом. DMN представил ABC своим родственникам. Увидев своих братьев, ABC понял, что он похож на них по трём признакам равенства треугольников.

– А вы знаете, что мы похожи с вами по трём признакам равенства треугольников?– спросил ABC у братьев.

– С чего ты взял? Докажи! –  ответили треугольники.

– Смотрите, у меня есть по одной чёрточке на сторонах А В и ВС и одна дуга на угле В. И у вас по чёрточке на двух сторонах и дуга на угле между этими сторонами. Значит мы равны по первому признаку равенства треугольников. Вот смотрите! У меня сторона АВ и два прилежащих к ней угла В и С, равна вашей стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, мы равны по второму признаку равенства треугольников. Мои стороны АВ, ВС и СА соответственно равны трём вашим сторонам, значит мы равны по третьему признаку равенства треугольников,–  сказал ABC.

– Да, ты прав. Мы равны по трём признакам равенства треугольников. Но у нас проведены биссектрисы к основанию, а у тебя только медиана, прослушав доказательства, утвердительно сказали братья треугольники.

– Вы что? В равнобедренных треугольниках биссектриса, проведённая к основанию, является и медианой, и высотой,–  сказал ABC.

Так ABC нашёл равных ему треугольников и много новых друзей. А его братья узнали много нового о себе. После этого знакомства равнобедренные треугольники стали дружить и ходить друг к другу в гости.

2)Устное решение задач по готовым рисункам

Решение задач.

Задача № 1

В равнобедренном треугольнике основание относится к боковой стороне как 3:4. Найти стороны этого треугольника, если его периметр равен 33см.

Задача № 2

Построить в равнобедренном треугольнике АВС с основанием  АС медиану АА₁ и высоту СС₁.

4) Ответить на вопросы:

1. Определение многоугольника, его элементы.

2. Какой многоугольник называется выпуклым.

3. Формула суммы углов выпуклого многоугольника.

4. Сумма углов выпуклого четырехугольника

5. Параллелограмм его свойства и признаки.

6. Прямоугольник его свойства и признак.

7. Ромб и его свойства .

8. Трапеция, виды трапеций. Свойства равнобедренной трапеции.

9. Квадрат и его свойства.

10. Осевая симметрия

5) Итог урока.

Какую познавательную информацию содержали сказки?

Выставление оценок за сказки , устное и письменное решение задач , ответы на вопросы.

Домашнее задание: подготовиться к к∕р, повторив материал пунктов 15-23, решить задачи 170,171.

Добавлено 20.02.2008г.